Knihy a skriptá vydané Katedrou matematiky PF KU

Geometria, ako jedna z najstarších matematických disciplín, je neoddeliteľnou súčasťou matematického vzdelávania na základných a stredných školách. Hoci táto zbierka úloh je určená predovšetkým študentom vysokých škôl v odbore učiteľstva akadmických predmetov v kombinácii s matematikou, veríme, že vhodné úlohy si v nej nájdu aj študenti technických vysokých škôl, žiaci stredných škôl a ich učitelia.

Zbierka je rozdelená do dvoch tematických častí. V prvej časti s názvom Úlohy analytickej geometrie sú uvedené úlohy, ktoré možno riešiť metódami analytickej geometrie a lineárnej algebry, pričom sú usporiadané do nasledujúcich troch kapitol: Analytická geometria lineárnych útvarov, Analytická geometria kvadratických útvarov, Zobrazenia v rovine a priestore. V druhej časti s názvom Úlohy syntetickej geometrie sú spracované úlohy klasickej elementárnej geometrie, ktoré patria medzi najatraktívnejšie konštrukčné (príp. dôkazové) úlohy syntetickej geometrie. Jednotlivé úlohy tejto časti sú rozdelené do piatich kapitol: Základné geometrické útvary v rovine a ich vlastnosti, Zhodné zobrazenia v euklidovskej rovine, Podobné zobrazenia v euklidovskej rovine, Osová afinita, Kružnicová inverzia.

Zbierka úloh sa aspoň v minimálnej miere snaží vyplniť jednu z medzier v našej učebnicovej literatúre. Dúfame, že táto publikácia bude vhodnou pomôckou pre študentov pri štúdiu geometrie a stane sa motivujúcim faktorom pri riešení množstva ďalších zaujímavých úloh z geometrie.

Petr Vopěnka o tejto knihe napísal:

Na rozdiel od prírodných a spoločenských vied, ale podobne ako v umení, hýri matematika neprebernou ponukou niekedy až hravej a pritom zmysluplnej tvorivosti burcujúcej ľudský intelekt. Pozorovanie kvalitatívnej povahy a vzápätí nato operovanie s kvantitatívnymi vlastnosťami prirodzených čísel ukazujúcich sa v názornom reálnom svete – podobne ako kreslenie obrázkov či spievanie jednoduchých nápevov – uchvacuje už i malé dieťa. Podpora, rozvoj, rozširovanie a kultivácia zmienených prirodzených zdrojov ľudskej tvorivosti je jedným z príznačných rysov európskeho vzdelávania. Napokon práve tvorivá vynachádzavosť je tým, čo by mohlo v globalizovanom svete zaistiť Európe i naďalej dôstojné postavenie.

Aj keď malé prirodzené čísla sú najprístupnejším a zrejme i najpôvodnejším zdrojom tvorivosti z tých, ktoré ponúka matematika, nie sú ani zďaleka jediným takýmto zdrojom. Na hodinách matematiky na základných a stredných školách (a nakoniec i na školách vysokých) sa študenti stretávajú s radom ďalších nemenej významných. Tie však bývajú skryté pod množstvom najrôznejších závažných poznatkov, ktoré vstrebávajú pozornosť študentov. Ide teda o to upozorniť, že sme sa v tom či onom prípade s takýmto zdrojom tvorivosti stretli, prípadne naznačiť, akým spôsobom by bolo možné z neho čerpať. A práve týmito dôležitými otázkami sa úspešne zaoberá prof. Jan Kopka, a im je tiež venovaná táto kniha.

Hoci teória pravdepodobnosti patrí k veľmi náročným matematickým disciplínam, autor ukazuje, že je prístupná aj ľuďom so stredoškolským vzdelaním. Autor pútavým spôsobom objasňuje náročné kapitoly matematiky a sprístupňuje ich širokej verejnosti, ktorá vo svojej práci využíva stochastiku.

Podstatným rysom súčasných reforiem vo vyučovaní matematiky je presúvanie dôrazu na vzdelávanie pomocou matematiky a širšie chápanie úlohy matematiky pri vzdelávaní ľudského intelektu. Táto kniha nie je prezentáciou stochastiky ako hotového produktu, ale predstavuje objavovanie pojmov a metód stochastiky, ako zvláštnych matematických prostriedkov popisu a skúmania skutočnosti okolo nás. Je to predstava stochastiky ako matematiky in statu nascindi.

Originálny prístup Prof. Plockého k vyučovaniu teórie pravdepodobnosti si nachádza mnoho priaznivcov. Výklad autor založil na formulovaní a riešení úloh, s ktorými sa stretávame v každodennom živote. Riešenie úloh sa javí ako dôležitý prvok matematického vzdelávania. Kniha je zbierkou zaujímavých úloh, ktoré sú doplnené množstvom ilustrácií. Cieľom autora nie je len to, aby sme dali žiakom súbor pojmov, definícii, viet a techník na výpočet pravdepodobnosti jednotlivých udalostí. Svojou prácou chce pestovať u učiteľa metodologický prístup k teórii pravdepodobnosti a stochastické intuície.

Prof. Adam Plocki je externým pracovníkom Katedry matematiky PF KU v Ružomberku. Jeho kniha Pravdepodobnosť okolo nás vyšla v polštine, ruštine, češtine a teraz vychádza aj v slovenskom jazyku. Autor venoval veľa práce príprave slovenského vydania tejto knihy, pričom sa vzdal svojho honoráru. Je to dar Katolíckej univerzite v Ružomberku, za ktorý mu patrí vďaka.

Text Diferenciálneho počtu funkcie jednej reálnej premennej je pokračovaním učebnice elementárneho kalkulu prof. Igora Kluvánka, ktorá vyšla v roku 2006 pod názvom Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Obsah tohto druhého dielu z hľadiska pojmového aparátu a postupov nie je xeroxovou kópiou nejekej inej, už existujúcej práce. Ide o jedinečnú a výnimočnú knihu, pokúšajúcu sa odstrániť nedostatky v zavádzaní pojmov a používaní metód, ktoré sa často opakujú v nemalom množstvo už "tradične osvedčených" učebných textov. Najlepšie to vystihujú slová samotného autora: "Od vzniku diferenciálneho počtu sa proces objasňovania, zjednodušovania a zlepšovania na istej úrovni zastavil, resp. týkal sa len istých aspektov diferenciálneho počtu. Podľa všeobecnej mienky totiž čokoľvek sa v tomto smere malo urobiť, už vykonali ľudia ako Cauchy, Bolzano, Weierstrass a ich súčasníci. Hoci je v tomto názore veľký kus pravdy, nie je to pravda celá."

Učebnica Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej bola pripravená z anglických rukopisov prof. I. Kluvánka - tie vznikli počas jeho dvadsaťtriročného pôsobenia na Flindersovej univerzite v Adelaide v Južnej Austrálii.

Táto zaujímavá a podnetná kniha bola napísaná pre učiteľov, didaktikov matematiky a študentov učiteľstva matematiky. Aby sa táto kniha dostala čo najskôr k slovenskému čitateľovi bola vydaná v českom originály.

Profesor Petr Vopěnka v úvode knihy napísal: Pred didaktikou matematiky stojí naliehavá úloha nájsť takú látku, na ktorej by bolo možné robiť nácvik vyššej operability, ktorá by umožňovala zachovať všetko, čo poskytuje tradičná látka a rozvíjať ju spôsobom odpovedajúcim dnešnej dobe. Zdá sa, že výskum, ktorým sa zaoberá prof. Kopka je v tejto záležitosti vykročenie správnym smerom.

Kniha obsahuje:

• dôležité stratégie, pomocou ktorých je možné riešiť matematické problémy, pričom pozornosť je samozrejme venovaná aj tzv. výskumným stratégiám,
• mnoho problémov, ktoré je možné riešiť pomocou skúmania (ale samozrejme aj inak),
• mnoho matematických situácií, ktoré možno zvládnuť pomocou skúmania.

Problematika je spracovaná tak, aby učiteľ mohol časti, ktoré si vyberie použiť priamo vo vyučovaní.

Skúmanie, ako je uvádzané v knihe, je metóda pomocou ktorej možno matematiku vyučovať (toto sa týka učiteľov), ako aj metóda pomocou ktorej sa matematiku možno učiť (týka sa to žiakov a študentov). Výskumný princíp umožňuje žiakom prenikať hlbšie do tajov matematiky ako to umožňujú klasické metódy. Pritom táto cesta je pre nich omnoho zaujímavejšia.

Profesor Bukovský v úvode knihy napísal:

Igor Kluvánek bol presvedčený, že matematik-pedagóg sa musí intenzívne venovať výchove v oblasti matematiky na všetkých stupňoch: od strednej školy až po prípravu nových matematikov-bádateľov. Súc zodpovedný za svoje konanie, takto aj činil.

Systematicky rozmýšľal nad výučbou matematiky na vysokých školách. V Košiciach sa zamýšľal nad organizáciou kurzu matematickej analýzy pre matematikov na školách univerzitného typu. Prvé výsledky svojich zamyslení realizoval ešte v Košiciach (v roku 1965 boli na Prírodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach rozmnožené texty z prednášok z diferenciálneho a integrálneho počtu). Samozrejme, nie každý pokus musí byť úspešný a košický experiment sa neujal. Igor Kluvánek v tejto práci pokračoval aj v Austrálii a pri návrate na Slovensko priniesol so sebou výsledky sojej práce.

Predkladaná kniha Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu je jeden z týchto výsledkov v oblasti vyučovania matematiky na vysokej škole. Text bol pôvodne napísaný anglicky, rozmnožený a používaný na Flinders University. Názov vystihuje jeho zámer. Odborník si musí všimnúť výsledky mravenčej práce a dobre premyslenej organizácie textu. S miernou iróniou, ktorú, pokiaľ som Igora Kluvánka poznal, by prijal aj on, text má jednu slabinu: predpokladá, čitateľ chce niečo vedieť. Žiaľ, nestačí si text požičať alebo dokonca kúpiť a položiť na stôl. Treba podľa jeho návodu tvrdo pracovať. Ak tak čitateľ urobí, nemám pochybnosti o výsledku.

Geometria je časťou matematiky, s ktorou sa stretávajú žiaci už na základnej škole. Geometria je veľmi názorná a preto ju mnohí žiaci majú radi. Myslíme si, že geometriu možno práve pre jej názornosť využiť na budovanie kladného vzťahu žiakov k matematike. Žiaľ, na Slovensku už mnoho rokov nebola vydaná zbierka úloh z geometrie pre študentov vysokých škôl. Tento deficit sa snaží vyriešiť predkladaná zbierka úloh z analytickej geometrie. Aj keď je určená budúcim učiteľom matematiky, veríme, že vhodné úlohy si v nej nájdu aj žiaci stredných škôl, študenti technických vysokých škôl a ich učitelia.

Zbierka úloh je rozdelená do troch kapitol:

• Analytická geometria lineárnych útvarov,
• Analytická geometria kvadratických útvarov,
• Zobrazenia v rovine a priestore.

V úvode každej časti kapitoly je uvedený stručný prehľad základných pojmov a vzťahov, ktoré sa ďalej využívajú pri riešení úloh. Pri zoraďovaní úloh sme zvolili prístup, ktorý je najčastejšie používaný na vysokých školách pripravujúcich učiteľov matematiky.

Hoci teória pravdepodobnosti patrí k veľmi náročným matematickým disciplínam, autor ukazuje, že je prístupná aj ľuďom so stredoškolským vzdelaním. Autor pútavým spôsobom objasňuje náročné kapitoly matematiky a sprístupňuje ich širokej verejnosti, ktorá vo svojej práci využíva stochastiku.

Podstatným rysom súčasných reforiem vo vyučovaní matematiky je presúvanie dôrazu na vzdelávanie pomocou matematiky a širšie chápanie úlohy matematiky pri vzdelávaní ľudského intelektu. Táto kniha nie je prezentáciou stochastiky ako hotového produktu, ale predstavuje objavovanie pojmov a metód stochastiky, ako zvláštnych matematických prostriedkov popisu a skúmania skutočnosti okolo nás. Je to predstava stochastiky ako matematiky in statu nascindi.

Originálny prístup Prof. Plockého k vyučovaniu teórie pravdepodobnosti si nachádza mnoho priaznivcov. Výklad autor založil na formulovaní a riešení úloh, s ktorými sa stretávame v každodennom živote. Riešenie úloh sa javí ako dôležitý prvok matematického vzdelávania. Kniha je zbierkou zaujímavých úloh, ktoré sú doplnené množstvom ilustrácií. Cieľom autora nie je len to, aby sme dali žiakom súbor pojmov, definícii, viet a techník na výpočet pravdepodobnosti jednotlivých udalostí. Svojou prácou chce pestovať u učiteľa metodologický prístup k teórii pravdepodobnosti a stochastické intuície.

Prof. Adam Plocki je externým pracovníkom Katedry matematiky PF KU v Ružomberku. Jeho kniha Pravdepodobnosť okolo nás vyšla v polštine, ruštine, češtine a teraz vychádza aj v slovenskom jazyku. Autor venoval veľa práce príprave slovenského vydania tejto knihy, pričom sa vzdal svojho honoráru. Je to dar Katolíckej univerzite v Ružomberku, za ktorý mu patrí vďaka.

Tento učebný text je určený študentom prvého ročníka študijného odboru „Učiteľstvo akademických predmetov” v kombináciách s matematikou. Vznikol na základe štúdia rukopisov zosnulého profesora Igora Kluvánka a odbornej literatúry domácich i zahraničných odborníkov v oblasti didaktiky matematickej analýzy. Jedným z jeho cieľov je pripraviť študentov na hlbšie štúdium matematickej analýzy, ktoré absolvujú neskôr počas svojho štúdia.

Prvá kapitola je venovaná matematickej logike. V súčasnosti sa tejto časti matematiky venuje menšia pozornosť na stredných školách, preto je podrobnejšie rozpracovaná a doplnená množstvom cvičení. V druhej kapitole je venovaná pozornosť najmä kresleniu grafov elementárnych funkcií. Tretia kapitola sa podrobne venuje teórii číselných radov, pričom v závere je zavedený súčet nekonečného radu a limita postupnosti.

Štvrtá kapitola poukazuje na možnosť zavedenia limity funkcie v bode pomocou spojitosti funkcie v bode. Tento spôsob je následne využitý pri zavedení derivácie funkcie v bode a určitého integrálu v posledných dvoch kapitolách.

Filozofia celého učebného textu je koncipovaná tak, aby študent nadobudol nielen určité kalkulatívne a algoritmické zručnosti pri štúdiu uvedených pojmov, ale hlavne pochopil ich zmysel a spôsob zavedenia.

Jednou z každodenných úloh dopravy je rozvoz tovaru. Rozvoz sa zabezpečuje pomocou určitého počtu áut od výrobcu k spotrebiteľom. Cieľom je zabezpečiť najlacnejší rozvoz.

Táto úloha minimalizovania dopravných nákladov pri uspokojení požiadaviek zákazníkov v jednotlivých vrcholoch je riešená pomocou strategického, taktického a operačného plánovania. Pod strategickým plánovaním chápeme umiestnenie vhodných zariadení. Problémy súvisiace s veľkosťou vozového parku môžeme nazvať taktické. A nakoniec operačné plánovanie zahrňuje rozhodnutia týkajúce sa hľadania a rozvrhovania vozidiel, na ktoré sa v texte zameriavame.

Cieľom práce je navrhnúť zlepšenie stochastickej optimalizačnej metódy riešiacej problém TSP a VRP známej ako Daganzová stratégia. Ide o metódu spojitej aproximácie účelovej funkcie. Pôjde o úpravu tejto metódy s cieľom zlepšiť dolný odhad prejdenej vzdialenosti a celkovú prejdenú vzdialenosť spôsobom:

• nájdenia oblastí v regióne s väčšou hustotou vrcholov pomocou zhlukovej analýzy,
• nahradením vzdialeností medzi vrcholmi metrickou zvdialenosťou a vhodným otočením celej dopravnej siete.

Ďalšou úlohou je aplikovať získané výsledky na dopravnú sieť.

Dôkaz je jeden z najfrekventovanejších pojmov v matematike. Hoci ho môžeme považovať za nositeľa presnosti tejto vedy, paradoxne je často chápaný iba intuitívne, bez exaktných znalostí. V bežnej matematickej literatúre sa väčšinou len naznačuje hlavná myšlienka dôkazu, neuvádza sa presný a korektný zápis.

Na jednej strane je to pochopiteľné, keď autori predpokladajú dostatočnú erudíciu čitateľa a nezaťažujú ho nadmerným formalizmom. Na druhej strane, čitateľ môže ľahko podľahnúť presvedčeniu, že jediným cieľom dôkazu je objasniť dokazované tvrdenie, lepšie ho vysvetliť. To by sme sa vrátili o viac ako dve tisícročia späť, do čias pred Euklidom či dokonca pred Aristotelom, ktorí medzi prvými pochopili, že pojem dôkaz musí byť exaktne definovaný a musí sa riadiť jasnými a jednoznačnými pravidlami. Inak veľmi ľahko dôjde nedorozumeniam a omylom.

Práca podáva podrobnú klasifikáciu dôkazov z hľadiska použitej metódy dôkazu. Jednotlivé metódy sú v nej teoreticky odôvodnené a potom je ich použitie ilustrované na príkladoch konkrétnych dôkazov.

Učebnica je určená v prvom rade poslucháčom Pedagogických fakúlt, ako i poslucháčom technických vysokých škôl odboru aplikovaná matematika. Obsahový záber je úmyselne širší ako vyžaduje výučba uvedených odborov, aby prednášajúci mali možnosť aktuálne modifikovať prednášky. Knihu môžu využiť i iní záujemcovia, ktorí sa chcú oboznámiť so základmi lineárnej algebry.

Jej obsahom je úvodný kurz lineárnej algebry, ktorého náplň je už viac-menej stabilná. V jednotlivých kapitolách autori objasňujú:

• lineárny priestor a jeho základné atribúty: báza, dimenzia, lineárna závislosť, súradnice prvku,
• matice a determinanty a ich vlastnosti,
• existenciu a jednoznačnosť riešení systémov lineárnych rovníc ako i výpočet riešenia,
• algebru a geometriu lineárnych zobrazení lineárneho priestoru, dôraz je kladený na korešpondenciu vlastností zobrazení a ich maticovej reprezentácie,
• základy geometrie reálneho i komplexného euklidovského priestoru a jeho lineárnych zobrazení, kapitola obsahuje základné charakteristiky normálnych, symetrických a unitárnych zobrazení a matíc,
• bilineárne a kvadratické formy, zvolený prístup je úvodom k hlbšiemu štúdiu kvadratických priestorov i k štúdiu kvadrík v projektívnom a afinnom priestore.

Tento učebný text je určený predovšetkým poslucháčom pedagogických fakúlt. Autori pripravili poslucháčom prístupnú pomôcku k štúdiu úvodu do abstraktnej algebry v rozsahu učebných osnov pedagogických fakúlt, ktoré sledujú dva hlavné ciele:

• oboznámiť ich so základnými pojmami abstraktnej algebry potrebnými nielen pre štúdium ďalších partií alebry, ale aj iných matematických disciplín,
• na druhej strane, v súlade s mottom publikácie, ukázať im príčiny a podstatu mnohých zdanlivo samozrejmých pojmov a vlastností v stredoškolskej algebre, ako je napríklad deliteľnosť, najmenší spoločný násobok, mnhočleny, riešenie rovníc, zákony aritmetiky atď.

Autori vyššie uvedené ciele splnili v texte nie príliš veľkého rozsahu, ktorý neodrádza študentov a učiteľovi dáva možnosť podľa vlastného uváženia niektorú kapitolu rozšíriť, prípadne prehĺbiť alebo i doplniť.